工程研究

量測作業之不確定度分析與探討

摘   要

 量測作業所涵蓋之領域相當廣泛，即使近十年來土木工程實驗室大力推動CNLA認證體系，也只不過是該體系的一個分支項目而已。

不確定度則代表了量測結果的分散程度、可能誤差或可能存在的範圍區間，由於所謂的「真值」和「誤差」，實際上無法準確獲得，因此，從政策面至執行面均著重在已知量測值暨不確定度的分析作業中，致格外顯得正確且重要。

本文筆者擬列述CNLA之不確定度政策、定義、評估程度以及範例介紹等等，輔以個人淺顯之經驗與建議，或許有助於量測之從業人員卓參及運用。

一、前言

所謂CNLA，乃英文Chinese National Laboratory Accreditation 四字之簡稱，中文為“中華民國實驗室認證體系”。

該體系是以一套程序，針對校正或測試之實驗室具有執行特定作業的能力，予以公開正式評鑑、通過認證、頒發認可證書及認可實驗室名錄的登錄為主。至於其主要政策可分為：「量測不確定度的評估政策」、「量測追溯政策」和「能力試驗政策」等三項。

筆者基於量測不確定度的重要性與日俱增，很多從業人員誤用或誤解其涵意等因素，因此本文擬僅針對本項之評估與分析方式作深入淺出地介紹與探討，希冀有助釐清混淆及視聽。

二、量測採用不確定度的必要性

量測作業乃為工程規劃、設計、施工、監造以及各領域必須進行的首要手段與機制，因此，其重要性不言可喻。惟量測的結果，限於人員經驗、熟練度、儀器精準度、系統偏差、樣品代表性以及非主、客觀條件所能掌控等因素錯綜複雜的獨立事件或連帶影響，導致量測所得之初始值，「幾乎」不能代表真正的數值。

職是之故，採用不確定度來表示「真值」合理的範圍區間、分散模式與可接受的可靠度值，方能使量測結果經過一些統計、分析的模組後，變得可信、安全、經濟且具可行性，否則空有量測數據，將無法落實在執行面，同時量測作業亦失去意義。這是必要的認知。

三、實驗室運用量測不確定的依據

CNLA依據ISO/IEC 17025技術要求之規定，針對量測不確定度的評估與表示，必須採用「ISO量測不確定度表示方式指引」。同時各不同領域的指引文件，需經CNLA評鑑技術委員會審查通過其適用性，經核准后始頒布成為CNLA認證特定規範的一部份，並公布實施日期。

因此，CNLA雖於民國八十六年六月頒布量測不確定度的評估政策，經過ISO/IEC 17025於民國八十八年的改版(源於ISO Guide 25)，CNLA仍提出必要的修正及依據為：「CNLA校正領域的實驗室，於1999年1月1日起，在量測不確定度的評估與表示必須符合“ISO量測不確定度表示方式指引”。」故該領域之實驗室，應將量測不確定度的評估說明予以書面化，展現對量測不確定度評估的合理性及準確性，進而以「量測不確定度」來表示該實驗室在校正領域的最佳校正能力，並且以CNLA所發行之最新版測試結果量測不確定度評估指引所建議之方法評估測試結果之量測不確定度。

若實驗室進行量測作業所依據之國際、國家或專業、特定的規範中，已規定量測不確定度評估之方法，則實驗室可以優先採用之，並需於測試報告或校正報告中註明規範名稱及分析程序等資料。

四、量測不確定度的評估項目

(一)基本認知

如果您手上持有一份實驗室的報告或是任何一個使用儀器、經驗以及其他合理方法所測得之數據值，首先可能必須對這個量測或觀察所得之值，抱持一個懷疑的態度：它準確嗎？有多少誤差？在什麼範圍內它是可被接受的？……等等。

為什麼會這樣呢？

這是因為任何量測行為所得之結果，只是「唯一真值」的近似值或評估值、估計值而已；再進一步說明，我們會發現：不同實驗室、不同操作人員、不同的儀器、不同的規範……甚至相同的操作人員作多次的重複量測作業，均無法百分之百保證獲得相同的量測值。

因此，若欲完整地表示或說明量測結果，至少應包括下列五項數據資料才能算得上合理而真實，並具使用價值：

1.量測數據值。

2.可能誤差值或可能存在的範圍區間值。

3.標準偏差值。

4可靠度值。

5.採用統計分析之方法或模式。

(二)量測數據值

一般皆以量測儀器最小刻度單位作為較具可靠度之數據值之依據，即使指標位於臨界點之處，習慣上亦僅記錄至最小刻度單位為主。

若機率統計分析模式不是以觀測值為依據，則此項數據值仍必項採用具絕對可靠度之資料 (例如：資深從業人員之經驗、儀器規格書、歷年的量測記錄、解析度、環境條件、廠商說明書或原始數據……等等)，輔以適當的機率分布函數係數，可作為數據值之基準 (Criteria)。

(三)可能誤差值或可能存在的範圍區間

一般而言，誤差可分為「隨機誤差」(Random Error)與「系統誤差」(Systematic Error)兩大類。前者係由隨機性和不可預知之因素造成，無法百分之百消除，但通常可藉量測之次數來降低其誤差值；後者係由一些已確知之因素所造成，也是無法百分之百消除，但也可經由修正手段來降低其誤差值。

由於沒有人知道「真值」之值，當然也就無法確認真正的誤差值，所以使用「不確定度」觀念中的「可能誤差值」或「可能存在的範圍區間值」，會比較恰當。

同時其表示方法不盡然為正、負值具備等距(∣Error∣≦a)。

(四)標準偏差值

標準偏差值乃為表示「可能誤差值」最常用的方法之一，若一個隨機變數的機率分配方式屬於常態分配N(μ、σ) (σ為母體的變異數；若σ未知時，可用量測值的變異數S值取代之。) 則：

1.(μ±σ)的範圍約涵蓋68%的隨機變數值。

2.(μ±2σ)的範圍約涵蓋95%的隨機變數值。

3.( μ±3σ)的範圍約涵蓋99.7%的隨機變數值。

(五)可靠度值

上列所述，可靠度值表示了這個量測結果的可靠程度或一般人所謂的信心水準。

同時，可靠度也是工程預算或經費的指標之一，換句話說，若擬獲致高可靠度品質的產品，則所需付出的費用將相對提高。若採用(μ±σ)與(μ±3σ)作比較，則後者的可靠度值高達99.7%，顯然比前者的68%高出許多，由於其間之允許和拒絕區間相差可達4σ，表示(μ±3σ)之品質優良機率遠大於(μ±σ)者，則所投注之人力、時間及金錢等等，亦相對較多於(μ±σ)。但此一說法，並不能反推論說(μ±σ)可靠度68%時「必定」失敗。

(六) 採用統計分析之方法或模式

不同的數據資料，必須選用適當的統計分析方法或模式或所謂的機率分布函數。

例如：純粹的觀測值，可用常態分配予以分析。觀測值以外之其他數據值，可選用：矩形分配、三角形分配、U形分配或其他較複雜之分配模式予以分析。

五、量測不確定度的評估程序

(一)概論

承前所述，目前國際上最通用的量測不確定度分析評估方法，係國際標準組織(International Standard Organization; 簡稱ISO)於1993年所制訂，並於1995年及1999年兩度修正量測不確定度表示指引中所建議之方法。

CNLA同時於1999年頒布必須符合ISO表示方式指引之條款的規定，至此，其評估程序已予以規格化及書面化，現茲扼要列述如下各節。

(二) 建立數學方程式

首先從業人員必須依據規範、方式、量測特性、步驟與數據計算、分析公式等資料，建立量測結果 y 和量測過程中各項影響因素或量測值、修正值x_i∣間之數學方程式 (或稱傳播定律)如下公式(1)所列：

y=f (x_i∣) = ( x₁, x₂, x₃, ……… x_n) ------------------------------------------- 公式 (1)

(三) 決定分析組合標準不確定度公式

根據公式(1)所建立之數學方程式或傳播定律，緊接著必須要確認作業過程中每一個影響因素均為互相獨立之「事件」，俾便確定適切地「分析組合標準不確定度公式：u_c(y)」。

至於其表示方式如公式 (2)所列：

    u(y)=----------------------------------- --------------------公式(2)

式中δy／δx_i：敏感係數，乃為函數y在x_i點的切線的斜率值。

u(x_i)：每一獨立因素所具有之標準不確定度。

(四) 評估獨立因素的標準不確定度

為符合公式(2)之u(xi)，我們必須針對每個獨立因素、量測值或修正值進行標準不確定度的評估作業，而依評估方式的不同，又可再分類為A型及B型兩大類，茲分述如下：

1. A型評估方式

A型的標準不確定度係以次數分配模式為基準，乃根據觀察所得之數據值為機率分布所推導之機率密度函數計算而得。

通常A型評估方式適用於評估量測的隨機性及重複性所產生的可能變異，一般其必須計算分析的項目為：

(1)  量測次數：n。

(2)  量測值的平均值：x

(3)  量測值的標準差：S (若σ未知時，可用S取代σ)。

(4)  計算平均值的標準差：S／。

若已知母體為常態，則不管n值為多少，其常態分布狀況會十分良好；但若n≧30時，則不論母體本質為何，其均歸屬於常態分布。同理，n值愈大，則愈能夠符合中央極限定理。

2. B型評估方式

B型的標準不確定度係以經驗上的機率分配模式為基準，乃根據經驗值、原始數據、儀器規格表、解析度、環境條件、廠商說明書或先前測得之觀測值等等任何有效的資料作為機率分布所推導之機率密度函數計算而得。

通常B型評估方式適用於評估無法量測或不需要量測的可能變異，一般其必須計算分析的項目為：

(1)確認可能變異的模式。

(2)假設合理的機率分布方式。

(3)計算標準差：S

  至於常用的機率分布方式，一般有：

(1)矩形分布。

(2)三角形分布。

(3)U形分布。

  其相對應之標準不確定度分別為：

(1)u(x_i)=。式中a為全距的一半。 --------------------------------公式(3)

(2)u(x_i)=。式中a為全距的一半。 --------------------------------公式(4)

(3)u(x_i)=。式中a為全距的一半。 --------------------------------公式(5)

若可從儀器校正報告上查得擴充不確定度Ue值及可靠度水準 (例如：95％)或擴充係數ｋ值，則其B型標準不確定度可表示為：

u(x_i)=Ue/k ----------------------------------------------------------------公式(6)

綜合而論，A型或B型的評估方式，只在於主、客觀資料所產生之機率分布的方法不同而已，並非兩種不同的不確定度。同時，這兩種方式都是依據「機率分配」，亦即採用標準差或可能變異數來計算不確定度。

(五) 計算組合標準不確定度

決定各獨立因素的標準不確定度之後，利用公式(2)計算組合標準不確定度Uc(y)的值。

其中u(x_i)需涵蓋A型或B型一項至多項所估算的不確定度值，並評估每項u(x_i)的敏感係數(δy／δx_i) 分別予以平方相乘後再行累加，即可得到u_c(y)的平方值；開根號取正值即為u_c(y)。

(六) 計算擴充不確定度Ue值

根據所需要的可靠度或信心水準，必須選擇一個合理的擴充係數k值，k值乘上組合不確定度u_c(y)值，即可得到Ue之擴充不確定度值，如公式(7)所示：

U_e＝k × u_c(y) -------------------------------------------------------公式(7)

一般而言，均採用95% 之可靠度為基準，此時之k值將趨近於2.0。

(七)說明或陳述

報告中必須說明或陳述：係在何種信心水準之下而得到Ue值或是其可靠區間為(y－U_e)至(y＋U_e)之數據值。

同時必須將量測結果y及其標準不確定值u_c(y)或擴充不確定度U_e值列述於報告中並陳述所使用之規範及其評估方法。

六、水泥混凝土抗彎強度試驗量測不確定度分析範例介紹

(一) 前言

本報告依照CNS 1233執行水泥混凝土之抗彎強度試驗工作，並依據ISO量測不確定度表示指引1999年版方法評估水泥混凝土抗彎強度試驗之量測不確定度。

(二) 試驗作業步驟

1.   試體之製作方式應依照CNS 1230或CNS 1231之規定辦理。

2.   將試體(若須養治，依CNS 1230或CNS 1231規定辦理。)安置於承壓座上，並使施壓座在兩支點間之三分點處，若試體支承點不平整時，須作蓋平處理。

3.   加壓速率可迅速加至破裂載重值的50%，此後之加壓增加率維持在8.79∼12.31 kgf/cm²/min之間，直至破壞為止。

4.   記錄最大荷重值、試體斷裂面之寬度、厚度及破裂之位置，精確至1mm取其平均值 (各量測三次)。

(三) 量測不確定度數學方程式

1.水泥混凝土抗彎強度表示之公式

    R＝PL/(bd²) ---------------------------------------------------公式(8)

式中R：抗彎強度；kgf/cm²。

P：試驗機具所示之最大載重；kgf。

L：跨距；cm。

b：破裂處試體之平均寬度；cm。

d：破裂處試體之平均厚度；cm。

2.試驗值之變異值表示之公式

R_c＝[(R₁+Δ₁)+ (R₂+Δ₂)+ (R₃+Δ₃)+ -----------+(R_n+Δ_n)]／n

＝(R_i)/n+Δ_avg ---------------------------------------------公式(9)

因在實務上，公式(8)所求得之R值未作修正，故每項Δ_i值均為0，標準差亦為σ之常態分配，故Δ_avg＝0。

3.敏感係數

(1)δR／δP＝L／(bd²)

(2)δR／δL＝0 (L=45.72 cm，固定值)

(3)δR／δb＝－PL／(b²d²)

(4)δR／δd＝－2 PL／(bd³)

(5)δR／δΔ＝1

4.傳播定律或方程式表示之公式：

u²(x_i)＝＋＋＋----------公式(10)

由公式(10)可以得知：水泥混凝土抗彎強度的不確定度項目包括下列四項：

(1)施力P的up值。

(2)寬度b的ub值。

(3)厚度d的ud值。

(4)操作人員、試體狀況及環境影響造成的u_Δ值。

(四)  標準不確定度評估

1.試驗資料

(1)施力P=3800 kgf。誤差不大於1%。

(2)試體寬度b=15.00 cm。誤差不大於0.5mm。

(3)試體厚度d=15.00 cm。誤差不大於0.5mm。

(4)跨距L=45.72 cm。

(5)五組試驗強度值：

  ◎R₁=49.21 kgf/cm²。

  ◎R₂=50.04 kgf/cm²。

  ◎R₃=48.78 kgf/cm²。

  ◎R₄=46.55 kgf/cm²。

  ◎R₅=47.50 kgf/cm²。

2.u_p分析

        u_p =(3800×0.01)／=21.939 kgf

3.u_b分析

        u_b =0.05／=0.028868 cm

4.u_d分析

        u_d =0.05／=0.028868 cm

5.u_Δ分析

(1)R₁∼R₅之平均值x=48.416，標準差S=1.389。

(2) u_Δ=1.389／=0.621

(五)  組合標準不確定度評估

1.敏感係數計算

(1)===0.0135 kgf/cm³

(2)= -= - = - 3.432 kgf/cm³

(3)= -2= -2×= - 6.864 kgf/cm³

(4)=1

2.組合標準不確定度分析：詳表1所示。

可得到：u_c(y)=0.7228 kgf/cm²

表1組合標準不確定度分析表

(六) 擴充不確定度說明

採用信賴水準95%時之擴充不確定度，則擴充係數k可採用2.0，則此時之擴充不確定度Ue=k×u_c(y)=2×0.7228=1.446 kgf/cm²。

(七) 抗彎強度表示方法

本組抗彎試體在本試驗室，依據前述規範所測得之抗彎強度值為：

        R=(48.42±1.45) kgf/cm² (信賴水準95%)。

七、結論與建議

1.量測作業的成果採用不確定度表示之，不但是潮流所趨，亦為正確且為從業人員必備技術之一；否則，單一的量測值無法表示「唯一真值」、標準差及信賴水準(可靠度)，相對亦無從得知「合理誤差值」，其理甚明。

2.機率分布的模式非常繁複、多種，唯在量測或校正領域中，較常採用矩形、三角形及U形等三種，其中又以矩形分布模式較為保守及常用，至於其他的模式仍應因事制宜地選用之，不可100%一律採用矩形分布方式。反之亦然。

3.誤差無法百分之百消除，僅能利用測量次數或修正來降低，因此，所謂的「合理誤差值」必須能表現其誤差模式及合理範圍，才能使量測之成果具有實用性，同時正式報告中必須列明可靠度值。
　

參考文獻

(1)房性中，“標準貫入試驗N值應用的比較與探討”，文笙，再版，1998年12

    月。

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    年10月。

(3)中華民國實驗室認證體系，“ISO/IEC 17025實驗室品質管理訓練標準教材”

  再初，2000年10月。

(4)趙浡霖譯，“可靠度工程導論”，科技，1989年7月。

(5)中華民國實驗室認證體系，“CNLA測試結果量測不確定度評估共通規範”

     2000年6月。

(6)CNS 1233 A3046,“混凝土抗彎強度試驗法”，1984年4月。

(7)CNS 1230 A3043，“混凝土試體在試驗室模製及養護法”，1985年7月。

(8)CNS 1231 A3044，“工地混凝土試體之製作及養護法”，1982年10月。

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