(1)可靠度分析在工程上之應用─
以大地工程為例
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地工部 工程師 |
林士誠 |
地工部 經 理 |
陳福勝 |
摘 要
在一般的大地工程設計分析上，常將土(岩)的特性參數視為一確定值再以安全係數來籠統考量既已存在之工程系統的不確定性，以致無法確實瞭解設計時採用之安全係數所對應的風險程度，因此應用機率統計作為基礎之可靠度分析方法，不僅可以掌握設計過程中構造物之破壞失敗機率，同時也可藉以克服因參數的變異性所帶來的困擾。為說明可靠度分析方法在工程上之應用，本文乃將土壤特性參數視為隨機變數，就大地工程較常遭遇到之基礎沉陷問題，分別介紹總安全係數及偏安全係數之可靠度分析方法。
一、前言
工程設計所採用之安全係數，大都考量構造物在使用年限內合理之發生機率情況下，其組成構件承受最大外力作用時，仍能發揮原有設計之使用功能。然在大地工程設計所採用之安全係數常較結構工程所採用者為高，究其原因主要是大地工程隱含著諸多之不確定性，諸如地層狀況(異向性及非均質性)之掌握、土(岩)體行為之確定性及其特性參數之變異性等，均是困擾工程師的問題。因此應用統計機率方法，將結構物之強度及使用期間之最大外力視為隨機變數，應用可靠度(reliability)分析方法可獲致在合理發生破壞失敗機率下之安全係數，將可靠度分析方法應用於大地工程設計上，不僅可以解決地層特性參數不確定性之困擾，同時也可以評估所採用之安全係數的對應破壞機率。目前在大地工程安全係數之應用上而言，大致可分為總安全係數及偏安全係數法兩種，如淺基礎常以總安全係數方法評估容許承載力；而樁基礎則較常採用偏安全係數方法，就樁端點承載力及樁周圍摩擦力分別評估。
基於上述，為說明大地工程設計所採用的安全係數所對應之破壞機率有一較為完整之分析，本文乃就可靠度理論及分析方法加以介紹，並以大地工程常遭遇之土壤沉陷問題做一簡要之說明。
二、隨機變數與機率分佈
可靠度分析乃基於統計機率觀念，針對工程系統在使用期間的安全性而加以量測，使工程設計能在合理的失敗機率下獲得其安全係數，因此當工程設計需進行可靠度分析時，其系統的阻抗強度(R)及設計要求(Q)即需以隨機變數來模擬。因此，在進行可靠度分析前，需針對隨機變數之特性及其分佈，加以探討。
2.1隨機變數
為適當地描述隨機參數之特性，一般較常採用直方圖(histogram)或頻率圖(freguency)來表示[1]，尤其利用頻率圖不僅可以求得對應之或然率密度函數(PDF)，並可求得或然率分佈函數。而為描述或然率密度函數，需先評估分佈中的統計參數值，如平均值、標準偏差及變異係數等。由於在工程上，因變數常包含一個或多個自變數，當自變數為隨機變數時，因變數便可能為隨機變數，而其或然率密度函數之平均值或標準偏差，便有下列之表示方式。
(1)單隨機變數函數
因單隨機變數函數較為單純，故可直接求得其密度函數。當Y為X之函數時，即其關係為Y=g(X)，則Y之密度函數可以下式表示：
(1)
其中
表示
為g之反函數。
(2)多隨機變數之函數
在工程應用上，目標函數Y通常是由多個隨機變數
所組成，而其統計分佈模式較常出現的類型有(a)呈常態分佈相互獨立的隨機變數；(b)呈對數常態分佈相互獨立的隨機變數；(c)呈卜桑分佈相互獨立的隨機變數。當目標函數Y為隨機變數之線性組合時，即
(2)
則目標函數之平均值、標準偏差，可表示如下：
(a)若Xi為統計上獨立之標準常態分佈，其平均值為
，而標準偏差為
，
則可證明Y亦為常態隨機變數，其平均值與標準偏差分別為：
(3a)
(3b)
(b)若Xi為統計上獨立之標準對數常態分佈，其平均值為μXi，而標準偏差為，則可證明Y亦為對數常態變數，其等效平均值
及標準值差
值分別為：
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其中 |
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(c)若Xi為統計上獨立之卜桑隨機變數，其參數為
，則可證明Y亦為卜桑隨機變數，其參數為
為：
(3)多隨機變數函數之一般解
對於各隨機變數間為統計獨立狀況下所得之平均值及標準偏差值可應用(1)及(2)來求得，然在工程實務上，各隨機參數之關係並非完全為統計獨立，因此就線性目標函數如式(2)而言，其平均值可表示為：
(6)
即目標函數Y之平均值等於各隨機變數平均值之和，而其方差值(即標準偏差之平方)表示為：
(7)
其中
為與
間的相關係數
為與間的協方差(covariance)，當與間之關係為統計上獨立，則
2.2或然率分佈模式
隨機變數在樣本空間之分佈，可為分離(discrete)式或連續(continuous)式二種，如二項分佈、幾何分佈與卜桑分佈等採用之隨機變數乃屬於分離式，而常態分佈、對數常態分佈與指數分佈等，其所採用的隨機變數即屬於連續式。在所有或然率分佈中，最廣為應用者可能是常態分佈(normal distribution)，而Lumb亦曾指出，大部分土壤特性參數均適用常態分佈[2]。然而在實際應用上，或然率分佈大致上即係觀測數據並依經驗而決定，其步驟為先建立觀測數據之頻率圖，再目視比較選擇適當之分佈模式或將數據繪於為特殊分佈而準備之各種或然率繪圖紙上，若這些數據可近乎直線地繪於某或然率繪圖紙上，則表示此或然率之分佈模式符合此特殊或然率分佈模式，圖一為常態分佈繪圖紙，當某隨機變數之觀測值繪於此分佈繪圖紙上而呈一直線時，此隨機變數之或然率分佈模式屬於常態分佈[3]。
三、可靠度之基本理論
若將工程設計上之容許強度R與設計要求Q視為隨機參數，則可應用可靠度分析方法求得工程系統在合理失敗破壞機率範圍內所對應之安全係數，而其基本理論及分析方法與步驟，詳述如下。
3.1可靠度分析之基本原理
將設計要求Q與容許阻抗強度R視為隨機變數，則其安全邊際(safety margin)M可表為M=R-Q，亦為隨機變數。若安全邊際M之或然率密度函數(PDF)為fM(m)，則破壞機率(M<0之機率)為
(8)
就幾何圖形上而言，
代表fM(m)函數下M<0部份之面積，如圖二所示。
可靠度定義為安全之機率
(即為M＞0之機率)，若安全邊際M之或然率密度函數為常態分佈，則可靠度即為
(9)
其中
(•)為標準常態分佈之累積或然率分佈函數(CDF)，β稱為可靠度指數，其值等於平均值除以標準偏差亦為安全邊際M之平均值μm與破壞邊界M=0間之距離，而衡量該距離之單位為標準偏差σm如圖二所示。根據式(9)亦可求得可靠度指數β與破壞機率Pf之關係，如圖三所示。
進行可靠度分析時，須定義一較廣義之功能函數
G(X)=G(X1，X2，……….Xn) (10)
其中Xi為設計參數(隨機變數)，當G>0時表示處於安全狀態；G<0時表示處於失敗破壞狀態；G=0時則表示處於極限狀態。就幾何學而言，G(X)=0為n維面，該表面稱為失敗面(failure
surface)，失敗面的一邊為安全狀態G(X)>0而另一邊則為失敗狀態G(X)<0，若隨機變數之聯合或然率密度函數為
，則破壞機率Pf為破壞區域的相對應體積分。
(11)
因式(11)多重積分之計算太費時而不切實際，因此在實際工程應用上，進行可靠度分析時所採用之方法將簡述於後。
3.2可靠度分析方法
功能函數G
中之不相關隨機變數Xi，以
轉換為具零平均值和單位方差值之隨機變數
，其中與分別為 之平均值和標準偏差值。極限狀態曲面G(
)=0上距離原點最近的點即為最可能之破壞點，而此點與原點之距離即為此系統之可靠度指數，可表為
(12)
式中
係在最可能破壞點
上計算所得之值，
之坐標為
其中
=沿著
軸之方向餘弦
(13)
以上均假設隨機變數呈常態分佈，當隨機變數並非呈常態分佈時，須將其轉換為等效常態分佈後才可運算。若或然率累積分佈函數為
且隨機變數不呈常態分佈，定義等效常態分佈平均值為
且準偏差為
時，則根據在最可能破壞點
上的累積或然率必然相等之條件可得
(14)
其中(•)為標準常態分佈的累積或然率分佈函數，由式(14)得
(15)
若式(8)對最可能破壞點 做一次微分，則可得
(16)
其中
(•)為標準常態分佈的或然率密度函數，
表隨機變數 之或然率密度函數。對於設計變數為非常態分佈之情形，可利用式(15)及式(16)求得等效常態分佈的平均值與標準偏差，並以常態分佈方法進行可靠度分析。
上述之可靠度分析方法，乃是假設隨機變數
間之關係為統計獨立，然而對於具統計相關之隨機變數而言，其進行可靠度分析時，應先求得原隨機變數間的協變異數矩陣，才可繼續進行可靠度分析。然其進行分析時，決定變異數矩陣中之相關係數頗為複雜，故本文將不贅述。
3.3分析步驟
可靠度指數之數值運算步驟如下：
(1)假設破壞點的初始值分別等於各隨機變數的平均值，
(2)將非常態分佈之參數轉換成為等效常態分佈之參數及。
(3)令
或
(4)計算在破壞點處之偏導數
(5)求沿
軸之方向餘弦
，如式(13)
(6)令新的失敗面距原點間最短距離之破壞點為
(7)將代入功能函數G並令為零，解得β值。
(8)以步驟(7)所得之β值代入步驟(6)中求出新的破壞點。
(9)重覆步驟(3)至步驟(8)直到收斂為止。收斂後最終所求得的β值，即為該系統之可靠度指數。再應用式(9)或圖三，即可求得對應此β值之破壞機率Pf。
四、安全係數之定義
為達到目標可靠度，需用足夠大之安全邊際，以確保工程系統的安全性。就工程設計實務而言，定義－安全係數(factor of safety)，可以達到預定的可靠度，而此種安全係數之觀念廣泛的應用在工程上是為了要降低工程的風險性，以確保在使用期間構造物能發揮其原有的功能。目前在安全係數之應用上大致可分為總安全係數法及偏安全係數法兩種，而其定義可藉圖四加以闡述說明，在圖四中之曲線係表示載重或外力(Q)與工程構造物阻抗強度(R)的發生頻率分佈曲線，其各別的平均值分別為Q0與R0，而兩者之比值即為總安全係數F0=R0/Q0，另此兩條曲線之交叉點則代表構造物已處於失敗或破壞之極限狀態(Limit State)即Q1=R1，故將此狀態下工程構造物的安全係數分為載重外力及阻抗強度兩個部份並分別以載重係數Fq=Q1/Q0與阻抗係數Fr=R0/R1來表示，此種安全係數考量方式則稱為偏安全係數[4]。
應用上述之觀念，安全係數應用於實務上，可寫成
(17)
其中ψ為抵抗(供給)係數，而
為加在
上的部份荷重(需求)係數。若將這些係數應用於不同隨機參數之平均值上，則目標函數可改寫成
(18)
其中
應在失敗表面上，特別是在最可能失敗點上
，故所需的偏安全係數可求得，即
(19)
其中
，因此偏安全係數為
(20)
其中
為最可能失敗點之方向餘弦，而
為之變異係數(c.o.v)。
五、基礎沉陷之可靠度分析
由於大地工程設計，所需考量之變異性與不確定性較為複雜，而所對應之失敗破壞機率約1×10-2~1×10-4之間，相對於鋼結構工程或鋼筋混凝土工程之失敗破壞機率10-4~10-6及10-3~10-5略為偏高，但仍屬合理[5]。為瞭解應用可靠度分析所獲得之失敗破壞機率大小，乃以大地工程常遭遇到的基礎沉陷問題，進行可靠度分析來加以說明。
5.1目標函數之建立
結構物作用於地表面上，使得粘土層因壓密而引起沉陷，在不考慮次要壓密沉陷之影響的前提下，粘土層之壓密沉陷量可表示為
(21)
其中
為粘土之壓縮指數；
為初始孔隙比；H為粘土層厚度；
為初始有效應力；
為加上結構物後之增加壓力。假設基礎載重引致之總沉陷量不得超過4cm，則其功能函數可表示為
(22)
5.2隨機參數之選取
為探討目標函數之破壞失敗機率，乃選定Cc、H及Po為隨機變數並參考台北盆地淡2區(T2)、基1區(k1)及基2區(k2)等之統計參數[6]進行可靠度分析，其中初始之有效應力Po為單位重與深度之乘積(即
)，若將深度h視為常數時，Po之標準偏差乃採用單位重之標準偏差，另初始孔隙比因變化不大可視為常數並取為0.87。綜合上述，將進行可靠度分析時各區之隨機參數選取之平均值及標準偏差整理如表1所示。
5.3可靠度分析結果
依上述兩節所建立之功能函數及隨機參數值，應用可靠度分析步驟，進行淡2區、基1區及基2區之沉陷量可靠度分析，同時考量結構加載後之增加壓力為0.2T/m2及0.5T/m2，其分析過程可以3.3節之方法進行，而為說明方便，乃選擇T2區，增加壓力為0.2T/m2為例，其過程可參考表2所示，其中假設第一次之失敗破壞點為在平均值處。另由表3針對T2、K1及K2區進行可靠度分析。結果顯示，結構載重增量愈小，則其失敗破壞機率愈低，其中以淡2區之可靠度指數β最低，在相同之結構載重增量ΔP=0.2T/m2之條件下，淡2區較不易產生破壞，亦即較為安全，而基2區則較易產生破壞。
5.4總安全係數及偏安全係數
(1)總安全係數
在工程設計上，總安全係數法常被工程師所廣泛採用，其所隱含之意義為對系統之平均值給予一安全係數，然此一安全係數若以失敗破壞機率之概念加以詮釋時，則可應用可靠度分析方法求得系統之總安全係數。以總安全係數方法進行可靠度分析時需先定義功能函數
(23)
其中
為沉陷量平均值，F.S為總安全係數，當考慮在不同之總安全係數F.S時，可求得所對應之可靠度指數β及失敗破壞機率。就本例而言，總安全係數F.S=1.2，結構載重增量為0.2T/m2，T2區之可靠度指數β=1.058，相對應之失敗破
