工程研究

TRR-XY虛軸工具機組裝誤差之

加工精度影響分析 

摘  要

目前對平行機構的運動分析的研究報告相當多，但關於平行機構的定位誤差及誤差補償校正方式的研究報告仍相當缺乏，而這些資料是開發設計人員在如何增進工具機加工精度的主要依據。本研究的機器構型為一「五自由度並聯混合式工具機」，首先定義其「五自由度並聯混合式工具機」的誤差源，依據其誤差源的設定來建立順向運動解誤差模型，並進一步進行誤差參數的靈敏度分析，以作為開發設計人員的參考依據。

一、前言

隨著電腦相關硬體的蓬勃發展與進步，CAD/CAM系統運算能力大幅提升，因應美觀與品質要求的自由曲面(Free-form surface)應用造型設計越來越受重用，諸如航空、汽車、造船…等需利用加工機製程的自由曲面工件漸漸變多，其自由曲面加工規劃漸成為加工技術的重心。目前對於自由曲面加工最適當的加工方法是以具有四軸以上同動數值控制之多軸加工機，然而多軸工具機對機器使用者而言因其設備單價昂貴導致投資成本太高、短期不易回收。

而目前一種運用平行機構的新設計概念所構建之虛軸工具機，正受到學術界與工業界的高度重視，其理念源自於史都華平台，最初設計使用於飛行模擬器之平台，目前工業界實際應用此機構設計製造之飛行模擬器巳相當普遍。而首部商品化的虛軸工具機由Giddings & Lewis公司於1994年於國際工具機大展(IMTS 94’)中發表，虛軸工具機(Virtual Axes)一詞則首見於Khol(1994)對該工具機所做的相關報導。

TRR-XY混合式虛軸工具機是工研院機械所所開發的先進機種-並聯混合式五軸工具機，如圖一。虛軸工具機主要是由一組具有三個自由度的並聯式機構與傳統X-Y工作台所組成，此型架構的主要目的是希望以並聯式機構所提供的三個自由度(二個旋轉自由度及一個平移自由度(α、β、Z))來模擬目前在五軸綜合加工機上所使用的A/B旋轉軸及Z軸，其優點是在於剛性較高且成本低; 但相對的也具有並聯式機構工作空間不足的缺點，所以便搭配傳統的X-Y工作台來提供較大的工作空間，以彌補並聯式機構工作空間不足的缺點。其主軸機構由三組滾珠導螺桿驅動，導螺桿上滑塊連接桿件，桿件連接平板，而工具機主軸頭則架設在平板的中央位置; 主軸機構下裝置一組XY平台，欲加工的工件架設在XY平台上。機台透過馬達驅動滾珠導螺桿造成刀具平板產生兩個方向的旋轉和上下平移的運動，再加上XY平台所作兩個方向的平移運動，合成機台共五個自由度的運動。

主軸機構實際組裝的機構，以上基台固定住三組滾珠導螺桿，而每組滾珠導螺桿至刀具中心的關係可以看成是一組運動鏈—滾珠導螺桿驅動滑塊上下移動，滑塊上利用插銷接頭(Pin joint)與連桿接合，連桿的部分利用A型連桿增加其剛性與強度，連桿下端利用球接頭與刀具平板接合，而刀具主軸裝置在主軸板的中心位置﹔在此分別以A、B和C命名三組平行機構裡的三組運動鏈。三組滾珠導螺桿各安裝在等距且夾角120°的位置，另外滑塊上插銷接頭限制連桿在垂直其插銷轉軸的平面上旋轉，三個旋轉平面相交於上基台中心(即圖1中之XY平面之座標原點)，且平面之間夾角亦為120°。滾珠導螺桿與滑塊間的相對自由度為1，滑塊與連桿接合的插銷接頭相對自由度為1，連桿與主軸板接合的球接頭之相對自由度為3。自由度的計算公式為：

 ................................................................................... (1)

其中為機構總桿件數，為所有接頭的拘束度總和，在本研究的構型中共有3個滑塊、3根連桿及下兩平台，因此機構總桿數為8，因此虛軸工具機其系統自由度為：

 ........................................................(2)

自由度定義中包含了三個方向平移和三個方向旋轉，由(2)的計算得知主軸機構的自由度為三。

目前參考文獻所提出的誤差模型大都是針對工具機的基座及上平台接點位置誤差[1,2]、驅動軸長度誤差[3,4,5,8,9]，及利用角度感測器[5,6,7,8]所量測的角度值來建立誤差模型，少有針對機構的組裝誤差進行探討。所以在本研究所提出的誤差模型除了包含工具機的接點位置誤差及驅動軸長度誤差，更針對工具機的結構誤差(如角度偏量誤差)進行探討，最後並對誤差參數進行靈敏度分析，了解各個誤差參數對工具機定位精度的影響。

二、虛軸工具機D-H座標參數的設定

本研究的逆向運動解及順向運動解乃採用D-H 座標演算法，藉由定義兩個轉換座標系之間齊次轉換矩陣，進而表示出整體機構的運動關係。D-H 座標演算法是定義兩個轉換座標系之間之齊次轉換矩陣的運算法則，藉由桿長a (Link length)、偏置量d (Offset)、扭角α(Twist angle)、接頭旋轉角θ(Joint angle)等四個參數的設定，把機件的拘束考慮進去，進而推導出機構的運動關係。以下先對D-H矩陣座標設定法則作一描述。

欲描述空間n連桿機構二相鄰桿件的關係，首先須對每一桿件編號。從第0桿件依連接順序編號至第n桿，第i－1和第i桿的配對是接頭i。然後，在每一桿件i( i=1,2,3,4…….)上，建立適當的座標系(x y z)_i，以描述桿件i相對於桿件i-1的空間關係，如圖二所示。理想狀況下，此兩座標系(x y z)_i與(x y z)_i－1之空間的關係可由下列步驟轉換而成：

(x y z)_i－1沿Z_i-1軸平移第一偏置d_i得新座標系(x y z)_i^’ 。

(x y z)_i^’繞Z_i^’軸旋轉θ_i角得(x y z)_i^’’。

(x y z)_i^”沿X_i^”軸平移a_i得(x y z)_i^”’。

(x y z)_i^”’繞 X_i^”’軸旋轉α_i角得(x y z)_i。

若以矩陣表示，座標系(x y z)_i相對於座標系(x y z)_i-1的齊次轉換矩陣：

^i-1A_i＝Trans(0,0,d_i)Rot(Z_i,θ_i)Trans(a_i,0,0)Rot(x_i,α_i)

   ............................................   (3)

這種描述兩桿件間座標轉換矩陣的表示法，稱之為D-H 座標演算法。如圖三所示，圖中表示出的是C運動鏈當中的座標設定，定義上基台中心到插銷接頭處的距離為R_B、滾珠導螺桿上滑塊之進給為S_C(另兩運動鏈則定義為S_A、S_B)、連桿長度為L、球接頭中心到主軸板中心的距離為R_S、主軸板中心到刀具中心的距離是L_T；其中{0}座標系定義在上基台的中心，而{7}座標系則是定義在刀具的中心，其中各個座標系之間的參數定義如表1所示，唯特別要說明的是{3}到{5}座標系皆是定義在球接頭的中心，因為球接頭共有三個不同的旋轉自由度所以利用三個座標系定義出其運動的關係。

三、虛軸工具機誤差模型之假設

在本節主要是建立虛軸工具機誤差模型的誤差假設，以利順向運動解誤差模型的推導。一般工具機的誤差大概分有幾何誤差，如機構因製造或組裝的不當所引起的誤差。熱誤差，因溫度變化所引起的熱變形誤差。而一般平行機構的工具機由於採熱對稱結構設計，所以熱變形量較小。

大部份參考文獻所提出的誤差模型其所校正的機構參數大都是針對工具機的基座及上平台接點位置誤差、驅動軸長度誤差，少有針對機構的組裝誤差進行探討，然而接點的位置誤差較易以量測方法求出，但是工具機的結構誤差(如角度偏量誤差)確較不易以量測儀器量測出來。所以在本研究所提出的誤差模型其誤差的設定將除了包含工具機的接點位置誤差外，並主要是針對工具機的驅動軸長度誤差及角度偏量誤差進行探討，並以所推導出的誤差模型為基礎進而進行誤差參數之靈敏度分析。本研究所假設的TRR-XY虛軸工具機的誤差符號設定是根據Ferreira and Eman (1986)所提的工具機誤差符號設定，詳細說明如表2所示。

四、順向運動解誤差模型之建立

順向運動解誤差模型之推導和之前所推導的步驟是一樣，主要是將前節所設定的誤差參數加入順向運動解的推導步驟中。以下便是順向運動解誤差模型的推導過程:

首先建立刀具平板上之三個球接頭端點相對於上基台座標的齊次轉換矩陣，其座標轉換關係可以寫成以下的型式。

A運動鏈球接頭座標:

  ........................................................ (4)

式(4)中

  ..................................................................... (5)

  ........................................................................ (6)

B運動鏈球接頭座標:

 ........................................................... (7)

式(7)中

  ................................................................... (8)

  .............................................................................. (9)

C運動鏈球接頭座標:

................................................................. (10)

(10)式中

  .......................................................................... (11)

  ............................................................................ (12)

由於刀具平台是正三角形的構形，利用式(4)(7)(10)，便可得到包含誤差參數的三個幾何關係式，再應用牛頓-拉弗森數值方法來解θ_A3、θ_B3、θ_C3此三變數。

 ...................................................... (13)

為求得刀具平台平面的法向量，假設刀具平台上的局部平台座標系為{ }，如圖四所示。設刀具平台上之局部座標系統{ }相對於上基台座標系統的旋轉矩陣 為:

=  .................................................................. (14)

其中為座標系統{} XYZ方向的單位向量。因軸與線段平行，且軸與垂直，則可表示為:

                               ................................................................................. (15)

其中為刀具平台局部座標{p’}相對於上基台座標{0}的K方位分量，即為刀具平

台平面的法向量亦為刀具的方位。

  ........................................................................................................... (16)

即刀具平台的幾何中心位置可由下式求出:

   ................................................................................... (17)

則刀具端點的中心位置便可由式(16)(17)求出:

    ................................................................................. (18)

五、誤差參數之靈敏度分析

此節主要是進行各個誤差參數的靈敏度分析，分析不同的誤差參數對工具機的刀具端點定位精度有何影響。

不同的誤差參數勢必會對工具機造成不同的定位精度影響，藉由程式進行誤差模擬，以找出那幾個誤差參數對工具機的定位精度影響較大。本模擬主要是由上節所推導的順向運動解誤差模型為模擬程式，經由程式模擬出的誤差曲面與原理想曲面模型進行比對，原理想曲面的尺寸設定為：以與Z軸夾0~ 範圍內之半徑120mm的半圓球體，如圖五所示。

機台參數設定如下：

R_B=495mm,R_S=200mm,L=1020m,

L_T=270mm,hs=142mm

(1)各個誤差參數的靈敏度分析:

模擬誤差參數設定如下:

圖六： ，其餘誤差為0。

圖七： ，其餘誤差為0。

圖八： ，其餘誤差為0。

圖九： mm，其餘誤差為0。

圖十： mm，其餘誤差為0。

圖十一: ，其餘誤差為0。

圖十二: ，其餘誤差為0。

圖十三: mm，其餘誤差為0。

圖十四: mm，其餘誤差為0。

圖十五: mm，其餘誤差為0。

圖六至圖十五的為A運動鏈之誤差係數靈敏度分析，B、C運動鏈由於和A運動鏈是對稱軸，也會有相似的結果。

六、結果與討論

1. 經由誤差參數靈敏度分析，可得不同誤差參數對曲面誤差的影響如表3所示。由以上的分析可得知，在A運動鏈所設定的10誤差參數中，產生的曲面誤差範圍如表3所示。由表3可知，由角度誤差( )所引起的曲面誤差大小是較定位誤( )及桿件長度誤差( )來得大，由此可得知，角度的誤差對工具機定位精度的影響遠比位置誤差所造成的影響大。B、C 二運動鏈由於和A運動鏈是對稱軸，也會有相似的結果。此項模擬結果可供工具機在設計及組裝時，注意這幾個誤差的設計公差及組裝校正。

2. 如表3所示，由角度( )所引起的曲面誤差變動範圍是較大的，而定位誤差( )及桿件長度誤差( )所引起的曲面誤差變動範圍是較小，所以定位誤差( )及桿件長度誤差( )只要能給定其誤差值就大概可以補償其曲面誤差，而角度誤( )由於其曲面誤差變動範圍較大，將是隨後進行程式模擬及誤差補償探討的重點。

3. 由圖六~圖十五可歸納出：

(1)當平行軸A存在有誤差時，誤差區域的產生趨勢會沿著該平行軸A和平行軸B跟平行軸C連線中點的連線上，呈現大致左右對稱且誤差的最大值位於連線對角線上最遠離該軸之方位(即是右上角)，曲面誤差最小值為在靠近平行軸A的方位。平行軸B和平行軸C由於和平行軸A是對稱軸，其分析的結果也會和平行軸A是相似，平行軸B誤差值最大值發生處還是位於連線對角線上最遠離該軸之方位(即是正下方)，而平行軸C誤差值最大值發生處還是位於連線對角線上最遠離該軸之方位(即是左上方)。

4. 其中圖九及圖十三的曲面誤差圖形是較為特殊的，其曲面誤差圖形的誤差值較大值發生處是在連線上的兩邊，而在中間部份是凹下的，但誤差值最大值發生處還是位於連線對角線上最遠離該軸之方位(即是右上角)，平行軸B和平行軸C由於和平行軸A是對稱軸，其分析的結果也會和平行軸A是相似

5. 圖九與圖十三此二圖形是相同的，它們分別是當 mm及 mm，其餘誤差為0時所造成的曲面誤差圖形，由圖三 D-H座標設定圖可看出，座標1和座標2的在X軸方向的設定是相同的，因此當它們各別在X軸方向有誤差產生時，它們對刀具端點所造成的誤差會是相同的曲面誤差結果。

七、結論與建議

本研究藉由設定的誤差參數，進而推導出順向運動解誤差模型，建立了以工具機製造誤差及結構誤差為主，並包含了驅動軸長度誤差的誤差模型分析。而目前大部份的文獻的誤差模型分析大都是針對接頭位置誤差及驅動軸長度誤差為主，並未對工具機的結構誤差進行探討。

並以順向運動解誤差模型為基礎進行誤差參數的靈敏度分析，經由分析的結果可知角度的誤差對工具機定位精度的影響遠比位置誤差所造成的影響大，此部份結果可做為工程師在工具機設計初期及工具機進行結構組裝時的參考依據。

八、參考文獻

(1) O.Masory, and J.Wang, H.Zhuang,“On the Accuracy of a Stewart Platform-Part II Kinematic Calibration and Compensation,” Proceedings of the 1993 IEEE, International Conference on Robotics and Automation, pp. 725-731, 1993.

(2) Wang, J., and O.Masory, “On the Accuracy of a Stewart Platform-Part I The Effect of Manufacturing Tolerances ,” Proceedings of the 1993 IEEE, International Conference on Robotics and Automation, pp. 114-120, 1993.

(3) Hanqi Zhuang,“Method for kinematic calibration of stewart platform,” Journal of robotic system, pp.391-405, 1993.

(4).Hanqi Zhuang,“Kinematic Calibration of a Stewart Platform Using Pose Measurement Obtained by a Single Theodolite,” IEEE, 1995.

(5) Hanqi Zhuang,“Self-calibration of parallel mechanisms with a case study on Stewart platforms,” IEEE, 1997.

(6) Carles W.Wampler,“An implicit loop method for kinematic calibration and its application to close-chain mechanisms,” IEEE, 1995.

(7).Hanqi Zhuang,“Autonomous calibration of hexapod machine tools,” Manufacturing Science and Technology, Vol 2, ASME, pp.443-449, 1997.

(8)鄭中緯,“並聯機構平台機構參數自我校正之研究,” 國立中正大學機械工程研究所碩士論文，嘉義，1999.

(9)謝清祿,“序列式和史都華平台式多軸工具機之誤差補償研究,” 中原大學機械工程研究所碩士論文，中壢，2000.

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