工程實務

北宜高速公路冬山河拱橋結構分析

及設計簡介

第二結構部

工程師

戚樹人

第二結構部

正工程師

林正喬

摘要

預力混凝土拱橋的結構行爲通常比較複雜，本文先以簡單的結構模式導引入有限元素法分析，並介紹預力混凝土結構主要的分析重點：潛變及乾縮之數值分析、耐震分析與設計之特別考量。

一、前言

北宜高速公路冬山河橋位於臺灣省宜蘭縣冬山鄉，爲北宜高速公路跨越冬山河之橋梁，而冬山河爲臺灣省整治最完善之河流之一，兩岸之親水公園綠草如茵，春秋之際微風拂面，令人心曠神怡，常年旅客如織，是爲觀光休憩的重點（見圖一）。

因此爲了營造當地的景觀重點，本橋經多組方案的評選後，採以復古式的拱型結構，橋跨爲三跨連續預力混凝土拱橋，跨徑爲72+155+72m，基礎採全套管基樁基礎，因本結構型式比一般橋梁結構複雜，且臺灣位於地震帶，設計上更應周詳考慮，文中將對於本橋之結構模式、預力配置、潛變與乾縮及耐震分析等設計分析之理念提出介紹。

二、結構基本模式

冬山河拱橋主跨155m，而拱底與橋面淨高不及19m，如採純拱結構，拱長與拱高比約爲8，以拱橋而言，可能造成拱底水平力過大，且太矮的拱橋對想設計只含軸力之拱體越不利，因此本橋設計上將其簡化成近似之結構模式（見圖二），也就是讓拱長高比加大至約5以利拱體設計。

而拱體曲綫一段可以Hyperbolic-Sin求得，唯亦可以Strut-and-Tie Model求得（見圖三）。

依外力平衡　，其中Pi爲拱體及箱梁之重量，桿件之斜率可爲，則可由點P1推算至P5點，則拱軸綫可求得。如此以初估的斷面反覆二至三

次可得到更佳的近似結構模式，以利更精確的有限元素法分析。

三、預力配置

依據前節所述，可求得結構之基本模式，拱頂之水平力需由箱梁結構承擔，故以RC結構顯然已無法抵抗千噸之外拉力，因此於箱梁中應配置預力予以平衡（見圖四）。因本橋施工法考量拱體與其上之箱梁採場撑就地澆置工法，而邊跨及中央箱梁則採懸臂施工法，配合此施工之方法，箱梁之預力配置成如圖所示，箱室頂版除配置懸臂施工所需之節塊鋼筋外，於主拱上之箱梁內更配有外拉預力，以平衡拱軸壓力綫，其結構外形雖甚複雜，然其實仍可以比較簡單結構模式呈現，以作爲有限元素分析之初步起始資料。

四、潛變

本橋施工方式採部份場撑工法、部份懸臂節塊施工法，因此對於此類預力節塊施工時橋梁潛變與乾縮之考量極爲重要，本橋潛變與乾縮之模式採CEB-FIP 1990年公式，而數值分析則配合採零期係數法（Aging Coefficient Method）及叠代法（Step-by-Step），並用以求反超所定之結構潛變與乾縮之力量分布，名爲3STF（3-Dimensioned Segment Time Dependent Frame Analysis），以下僅介紹相關潛變及乾縮分析方法。

(一) Aging Coefficient Method

一般對潛變係數f可如CEB-FIP 1990年公式，將潛變區分爲不可恢復之潛變塑性流，和可恢復之延遲彈性變形，而將t_o時載入，以在t時所得之潛變變形對齡期28天之彈性應變比例表示，由此式之變位元與時間的關係，假設t_o時我們施一外應力s_o=s（t_o），而其應變應可表示成下列之積分式：

＋

其中

　Þ ＋ ………………………………….（1）

最後一項的積分式中，可由

改寫（1）式爲

＋ …………………..……………..….（2）

而數學上，（1）與（2）式並非等式，除非c（t，t_o）=c（t，t_o，s（t）），然實際上之應用我們仍視c（t，t_o）獨立於s（t），而χ（t，t_o）的計算可假設s（t）爲鬆弛涵數來反求c（t，t_o），有關鬆弛函數之求法可如下節〝Step-by-Step Method〞之說明。

(二)Step-by-Step法

基本上Step-by-Step法是在數值分析中，用以處理任何不規則的應力或應變變化的問題，任意的應力歷程或應變歷程（Stress or Strain History）均可利用此法，將時間分段，一步一步解出潛變造成之應變及應力變化，將Step-by-Step法應用在潛變分析，可將時間分段，假設在時間t_j有一應力增量△s，此應力增量所産生的暫態彈性應變加上到時間t_j+1之潛變△ε_j爲　

= ………………..………………...（3）

由此定義可知，在t時間之應變數ε(t)爲

= ……………………………………… （4）

由以上的步驟，可以計算出任意應力歷程或應變歷程所造成潛變的影響，以下以混凝土鬆弛函數（Relaxation Function）的求法爲例，簡單介紹Step-by-Step法求解的步驟。所謂鬆弛是固定應變下，應力隨時間之變化，假設在時間t_o時，施力使産生單位應變。

………………………….……………..………………..…（5）

由式（4）可求得t₁，時間之應變爲

＋ ……………………….……..….…（6）

其中△s_o爲從t_o至t₁時間內應力之增量，由於鬆弛函數之定義爲固定應變，故令

　ε(t₁) =1，則由式（6）可求量△s_o

同樣的，在t₂時間，由式（4）可得

＋ + …….……….….（7）

其中△s₁爲從t₁至t₂時間內應力之增量，同樣令

ε(t₂) =1，可求出△s₁

由此類推便可求得每一時間之應力值，此應力值即爲鬆弛函數

爲了增加計算之精度，Step-by-Step法尚可採用梯形法trapezoidal rule或Simpson’s rule來作計算，如果time step很大時，利用Simpson’s rule可以獲得較高的精度。

(三)Aging Coefficient & Step-by-Step並用法

實際上，無論是Aging Coefficient Method或Step-by-Step Method在應用上都會面臨不同之問題，以Aging Coefficient Method而言，對於結構系統與邊界條件在施工中隨時間之改變，在應用上有其實際困難，而Step-by-Step法雖可以處理任何不規則的應力或應變變化的問題，但time step之多寡將影響計算精度與計算時間，其間之選擇很難取得平衡點，因此將二法「執兩用中」，將可得到比較好之結果，以二個time step之問題爲例，時間由t_o，t₁，t₂區分，由式（2）得第一個time step結果